Seminário de Geometria 2020.1

Seminários 2020.1

 

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A comunidade do IME/UFG convida a todos a participarem dos Seminários de Geometria. No dia 3 de novembro de 2020, ocorrerá o seminário do aluno Ilton Menezes (aluno de doutorado - IME/UFG), às 10h00.

Título: Resultados de rigidez sobre os gradientes Schouten
Solitons

Resumo:  Nesse semin\'{a}rio consideramos $\rho$-Einstein solitons que s\~{a}o conformes ao espa\c{c}o pseudo-Euclideano e invariantes pela a\c{c}\~{a}o do grupo pseudo-orthogonal. Encontramos todas as solu\c{c}\~{o}es para o caso gradient Schouten soliton e apresentremos um resultado de rigidez.

Generalizamos estes resultados para as variedades do tipo $M=\left(\mathbb{R}^n,g^{*}\right)\times F^m$, onde $\left(\mathbb{R}^n,g^{*}\right)$ é conforme ao espaço pseudo-Euclidiano e rotacionalmente simétrico, com $g^{*}_{ij}=\delta_{ij}/\psi^{2}$, e $F^m$ é uma variedade de Einstein semi-Riemanniana. Como consequência dos resultados obtidos, apresentamos alguns exemplos.

sala: https://meet.google.com/zwi-umet-cbg

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A comunidade do IME/UFG convida a todos a participarem dos Seminários de Geometria. No dia 10 de novembro de 2020, ocorrerá o seminário da Prof. Dra. Adriana Araújo Cintra - (CIEXA/UFJ), às 10h00.

Título: Minimal surfaces in Lorentzian Heisenberg group and Damek-Ricci spaces via the Weierstrass representation

Resumo:  Damek-Ricci spaces are semidirect products of Heisenberg groups with the real line. They were considered in \cite{DR}(see also \cite{Tri}), equipped with a left-invariant Riemannian metric, to give a negative answer, in high dimensions, to the question posed by Lichnrowicz: ``is a harmonicRiemannian manifold necessarily a symmetric space?''
In \cite{MMP} the authors give a Weierstrass representation theorem for minimal surfaces in Riemannian manifolds. In \cite{Liramm} this representation has been extended for timelike and spacelike minimal surfaces in 3-dimensional Lorentzian manifolds. The results can be easily extended to the case of minimal surfaces in Lorentzian manifolds of higher dimension. In the paper \cite{MIA} we discuss a Weierstrass type representation for minimal surfaces in the $3$-dimensional Heisenberg group and in the $4$-dimensional Damek-Ricci spaces, endowed with left invariant Riemannian or Lorentzian metrics. For the case of spacelike surfaces we employ the complex analysis, and for timelike surfaces our approach makes use of the paracomplex analysis. Then, we exhibit various examples of spacelike and timelike minimal surfaces in these spaces.

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REFERÊNCIAS

\bibitem{MIA} A. Cintra, F. Mercuri, I.I. Onnis,{\em Minimal surfaces in Lorentzian Heisenberg group and Damek--Ricci spaces via the Weierstrass representation}, Journal of Geometry and Physics {\bf 121} (2017), 396--412.

\bibitem{Tri} J.~Berndt, F.~Tricerri, L.~Vanhecke. {\em Generalized Heisenberg Groups and Damek-Ricci Harmonic Spaces}, Lecture Notes in Mathematics, {\bf 1598}, Springer-Verlag, Berlin, (1991).

\bibitem{DR} E.~Damek, F.~Ricci. {\em A class of nonsymmetric harmonic Riemannian spaces}, Bull. Amer. Math. Soc. {\bf 27} (1992), 139-142.

\bibitem{Liramm} J.H. Lira, M. Melo, F. Mercuri. {\em A Weierstrass representation for minimal surfaces in
3-dimensional manifolds}, Results. Math. {\bf 60} (2011), 311-323.

\bibitem{MMP} F.~Mercuri, S.~Montaldo, P.~Piu. {\em A Weierstrass representation formula of minimal surfaces in $\H_3$ and $\H^2\times\r$}, Acta Math. Sinica {\bf 22} (2006), 1603-1612.

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A comunidade do IME/UFG convida a todos a participarem dos Seminários de Geometria. No dia 17 de novembro de 2020, ocorrerá o seminário do aluno Rafael Novais (aluno de doutorado - IME/UFG), às 10h00.

Título: Einstein-Type Hypersurfaces on $\mathbb{S}^{n}\times\mathbb{R}$ and $\mathbb{H}^{n}\times\mathbb{R}$.

Resumo:  We will present a classification for Einstein-Type hypersurfaces in $\mathbb{S}^{n}\times\mathbb{R}$ and $\mathbb{H}^{n}\times\mathbb{R}$  when the orthogonal projection of the coordinate vector field tangent to the factor $\mathbb{R}$ is the potential vector field.

 

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A comunidade do IME/UFG convida a todos a participarem dos Seminários de Geometria. No dia 24 de novembro de 2020, ocorrerá o seminário do Prof. Dr. Vanderson Lima (UFRGS). Excepcionalmente às 15h00.

Título: Uma propriedade de dois lados para superfícies mínimas com bordo livre.

Resumo:  Nesta palestra faremos um breve passeio pela teoria das superfícies mínimas com bordo livre na bola do espaço Euclidiano tridimensional. Logo após, descreveremos um resultado de natureza geométrica e topológica que implica que o mergulho destes objetos no espaço Euclidiano "não é muito complicado". (Trabalho em conjunto com Ana Menezes).

 

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A comunidade do IME/UFG convida a todos a participarem dos Seminários de Geometria. No dia 01 de dezembro de 2020, ocorrerá o seminário do Doutorando Felipe Narvaez (UFG), às 10h00.

Título: Uma propriedade geométrica das curvas de Darboux motivada pelas geodésicas conformes.

Resumo:

Exemplos de curvas provenientes do calculo de variaçõees na geometria tem sido amplamente estudado (vide [2],[3],[4],[6]). Algumas curvas definidas inicialmente com propriedades geométricas podem ser caracterizadas como solução de problemas variacionais. O exemplo
mais conhecido de ditas curvas são as curvas geodésicas ([1],[5]). Nosso intuito neste seminário é apresentar uma propriedade geométrica das curvas de Darboux, isto é, curvas extremais do funcional. A mencionada propriedade foi motivada pelo estudo das
geodésicas conformes, e pode ser estendida para uma classe mais ampla de funcionais.

Referências:
[1] Manfredo Perdigao Do Carmo and Manfredo Perdigao Do Carmo. Differential geometry
of curves and surfaces, volume 2. Prentice-hall Englewood Cliffs, 1976.
[2] Ronaldo Garcia, Rémi Langevin, and Pawe lWalczak. Darboux curves on surfaces II.
Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.), 47(4):1119–1154, 2016.
[3] Ronaldo Garcia, R ́emi Langevin, and Pawe lWalczak. Darboux curves on surfaces I. J.
Math. Soc. Japan, 69(1):1–24, 2017.
[4] D. Hilbert and S. Cohn-Vossen. Geometry and the imagination. Chelsea Publishing
Company, New York, N. Y., 1952. Translated by P. Nem ́enyi.
[5] Wilhelm P. A. Klingenberg. Riemannian geometry, volume 1 of de Gruyter Studies in
Mathematics. Walter de Gruyter & Co., Berlin, second edition, 1995.
[6] John Oprea. The mathematics of soap films: explorations with Mapler, volume 10 of
Student Mathematical Library. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000.

 

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A comunidade do IME/UFG convida a todos a participarem dos Seminários de Geometria. No dia 08 de dezembro de 2020, ocorrerá o seminário do Dr. Marcelo Lopes Ferro (IME-UFG), às 10h00.

Título: Novas superfícies isotérmicas.

Resumo:

Neste trabalho, consideramos um método para construir superfícies isotérmicas usando transformações de Ribaucour.
Aplicando esta teoria para o cilindro, obtemos uma família a três parâmetros de superfícies isotérmicas completas que contém
n-bolas para dentro e fora do cilindro. Além disso obtemos uma família a um parâmetro de superfícies isotérmicas 
completas com fins planares. Como aplicação obtemos soluções explícitas da equação de Calapso.
Trabalho conjunto com A. V. Corro

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A comunidade do IME/UFG convida a todos a participarem dos Seminários de Geometria. No dia 15 de dezembro de 2020, ocorrerá o seminário do Prof. Dra. Maria Andrade (UFS), às 10h00.

Título: Deformações de curvatura e a conjectura de Besse.

Resumo:

Um tema comum em Geometria Diferencial é obter métricas em uma variedade diferenciável com certas propriedades, como por exemplo, a curvatura escalar ser constante. Neste sentido, é notável estudar os pontos críticos do funcional curvatura escalar total. É conhecido que a solução do problema de Yamabe nos fornece que qualquer variedade compacta admite uma métrica Riemanniana com curvatura escalar constante. Dessa forma, na parte inicial desta palestra, discutiremos sobre deformações de algumas curvaturas. Além disso, é sabido que os pontos críticos da curvatura escalar total restrita ao espaço de métricas com curvatura escalar constante e volume unitário são chamados de CPE (critical point equation). Assim, ficou conhecida a

Conjectura de Besse: Toda CPE é Einstein (i.e., a curvatura de Ricci é multipla da métrica).

Darei uma condição necessária e suficiente para uma métrica CPE ser Einstein em termos de espaços $\sigma_2$-singular. Tal resultado melhora o entendimento sobre métricas CPE e a Conjectura de Besse com um novo ponto de vista geométrico. Ademais, provarei que a condição CPE pode ser substituída por espaços vácuo estáticos para caracterizar variedades Einstein fechadas em termos de espaços $\sigma_2$-singular.

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